Kirjahaku

VI Eine Bitte des Autors Für Hinweise und Anregungen - insbesondere auch aus dem Kreis der Studenten - bin ich stets dankbar. Ein Wort des Dankes . . . an die Mitarbeiter des Vieweg-Verlages für die hervorragende Zusammenarbeit während der Entstehung und Drucklegung dieses Werkes, . . . an meine Rüsselsheimer Studenten (insbesondere aus dem Fachbereich Maschinenbau) für wertvolle Diskussionsbeiträge zur Gestaltung dieser Formelsammlung. Lothar Papula Wiesbaden, Juni 1986 VII Inhaltsverzeichnis I Allgemeine Grundlagen aus Algebra, Arithmetik und Geometrie . . . . . . . . 1 Grundlegende Begriffe über Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. 1 Definition und Darstellung einer Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1. 2 Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1. 3 Spezielle Zahlenmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Rechnen mit reellen Zahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2. 1 Reelle Zahlen und ihre Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2. 1. 1 Rationale, irrationale und reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2. 1. 2 Rundungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2. 1. 3 Darstellung der reellen Zahlen auf der Zahlengerade . . . . . . . . . . . 4 2. 1. 4 Grundrechenarten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2. 2 Intervalle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2. 3 Bruchrechnung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2. 4 Potenzen und Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2. 5 Logarithmen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2. 6 Binomischer Lehrsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3 Elementare (endliche) Reihen 11 3. 1 Definition einer Reihe 11 3. 2 Arithmetische Reihen 11 3. 3 Geometrische Reihen 11 12 3. 4 Spezielle Zahlenreihen 4 Gleichungen mit einer Unbekannten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4. 1 Algebraische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4. 1. 1 Allgemeine Vorbetrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4. 1. 2 Lineare Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4. 1. 3 Quadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4. 1. 4 Kubische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4. 1. 5 Bi-quadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4. 2 Lösungshinweise flir nichtalgebraische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4. 3 Graphisches Lösungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4. 4 Tangentenverfahren von Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Die Darstellung anwendungsorientierter mathematischer Methoden in Vorlesungen und Obungen gehbrt zum festen Bestandteil des Grundstudiums der technischen Disziplinen im Hochschulbereich. Von besonderer Bedeutung sind dabei die voriesungsbegJeitenden iibungen, in denen der Studierende die in der Vorlesung vermittelten mathematischen Grundkenntnisse anwenden und vertiefen soli. Die Erfahrung zeigt nun, daB die Behand- lung und Lbsung mathematischer Obungsaufgaben oft mit enormen Schwierigkeiten verbunden sind, insbesondere dann, wenn diese anwendungs- und praxisorientiert fonnuliert werden. Die Entwicklung und der Erwerb der Fahigkeit, die im Grundstudium vermittelten mathematischen Kenntnisse auf einfache Problemstellungen aus Natur- wissenschaft und Technik erfolgreich anwenden zu kbnnen, ist jedoch ein wesentliches Ziel der Grundausbildung und so mit zugleich Voraussetzung fUr ein erfolgreiches Studium. Das vorliegende Werk Obungen zur Mathematik fur Ingenieure enthiilt 187 ausschliel lich anwendungsorientierte Obungsaufgaben, die ausfilhrlich formuliert und vollstdndig gelbst werden (Lbsungen mit allen Zwischenschritten). Die ausgewahlten Problemstellungen entstammen den speziellen Grundvoriesungen der technischen Disziplinen wie Elektro- technik. Maschinenbau und Physik. Die Obungen haben somit durchaus den Charakter von Anwendungsbeispielen und zeigen die erfolgreiche Anwendung der Ingenieurmathe- matik auf (meist einfache) Problemstellungen aus Naturwissenschaft und Technik. Das Obungsbuch folgt in Aufbau und Stoffauswahl dem bewahrten Lehrbuch Mathematik fUr Ingenieure 1,2. Die beim selbstandigen Lbsen der Obungsaufgaben benbtigten physikalischen Grundlagen sind im Anhang einzeln aufgefuhrt. Das Obungsbuch ist daher unabhdngig von weiterer physikalischer Literatur verwendbar. Der allen Anwendungs- beispielen gemeinsame Aufbau wird in der Anleitung filr den Benutzer ausfUhrlich beschrieben.

I Allgemeine Grundlagen aus Algebra, Arithmetik und Geometrie.- 1 Grundlegende Begriffe ber Mengen.- 1.1 Definition und Darstellung einer Menge.- 1.2 Mengenoperationen.- 1.3 Spezielle Zahlenmengen.- 2 Rechnen mit reellen Zahlen.- 2.1 Reelle Zahlen und ihre Eigenschaften.- 2.1.1 Rationale, irrationale und reelle Zahlen.- 2.1.2 Rundungsregeln.- 2.1.3 Darstellung der reellen Zahlen auf der Zahlengerade.- 2.1.4 Grundrechenarten.- 2.2 Intervalle.- 2.3 Bruchrechnung.- 2.4 Potenzen und Wurzeln.- 2.5 Logarithmen.- 2.6 Binomischer Lehrsatz.- 3 Elementare (endliche) Reihen.- 3.1 Definition einer Reihe.- 3.2 Arithmetische Reihen.- 3.3 Geometrische Reihen.- 3.4 Spezielle Zahlenreihen.- 4 Gleichungen mit einer Unbekannten.- 4.1 Algebraische Gleichungen.- 4.1.1 Allgemeine Vorbetrachtungen.- 4.1.2 Lineare Gleichungen.- 4.1.3 Quadratische Gleichungen.- 4.1.4 Kubische Gleichungen.- 4.1.5 Bi-quadratische Gleichungen.- 4.2 L sungshinweise f r nichtalgebraische Gleichungen.- 4.3 Graphisches L sungsverfahren.- 4.4 Tangentenverfahren von Newton.- 5 Lehrs tze aus der elementaren Geometrie.- 5.1 Satz des Pythagoras.- 5.2 H hensatz.- 5.3 Kathetensatz (Euklid).- 5.4 Satz des Thales.- 5.5 Strahlens tze.- 5.6 Sinussatz.- 5.7 Kosinussatz.- 6 Ebene geometrische K rper (Planimetrie).- 6.1 Dreiecke.- 6.1.1 Allgemeine Beziehungen.- 6.1.2 Spezielle Dreiecke.- 6.1.2.1 Rechtwinkliges Dreieck.- 6.1.2.2 Gleichschenkliges Dreieck.- 6.1.2.3 Gleichseitiges Dreieck.- 6.2 Quadrat.- 6.3 Rechteck.- 6.4 Parallelogramm.- 6.5 Rhombus oder Raute.- 6.6 Trapez.- 6.7 Regul res n-Eck.- 6.8 Kreis.- 6.9 Kreissektor oder Kreisausschnitt.- 6.10 Kreissegment oder Kreisabschnitt.- 6.11 Kreisring.- 6.12 Ellipse.- 7 R umliche geometrische K rper (Stereometrie).- 7.1 W rfel.- 7.2 Quader.- 7.3 Pyramide.- 7.4 Pyramidenstumpf.- 7.5 Tetraeder oder dreiseitige Pyramide.- 7.6 Gerader Kreiszylinder.- 7.7 Gerader Kreiskegel.- 7.8 Gerader Kreiskegelstumpf.- 7.9 Kugel.- 7.10 Kugelabschnitt, Kugelsegment oder Kugelkappe.- 7.11 Kugelschicht oder Kugelzone.- 7.12 Kugelausschnitt oder Kugelsektor.- 7.13 Ellipsoid.- 7.14 Rotationsparaboloid.- 7.15 Torus.- 7.16 Guldinsche Regeln f r Rotationsk rper.- 8 Koordinatensysteme.- 8.1 Ebene Koordinatensysteme.- 8.1.1 Rechtwinklige oder kartesische Koordinaten.- 8.1.2 Polarkoordinaten.- 8.1.3 Koordinatentransformationen.- 8.1.3.1 Parallelverschiebung eines kartesischen Koordinatensystems.- 8.1.3.2 Zusammenhang zwischen den kartesischen und den Polarkoordinaten.- 8.2 R umliche Koordinatensysteme.- 8.2.1 Rechtwinklige oder kartesische Koordinaten.- 8.2.2 Zylinderkoordinaten.- 8.2.3 Zusammenhang zwischen den kartesischen und den Zylinderkoordinaten.- II Vektorrechnung.- 1 Grundlegende Begriffe.- 1.1 Vektoren und Skalare.- 1.2 Spezielle Vektoren.- 1.3 Gleichheit von Vektoren.- 1.4 Kollineare, parallele und anti-parallele Vektoren.- 2 Komponentendarstellung eines Vektors.- 2.1 Komponentendarstellung in einem rechtsh ndigen kartesischen Koordinatensystem.- 2.2 Komponentendarstellung spezieller Vektoren.- 2.3 Betrag und Richtungswinkel eines Vektors.- 3 Vektoroperationen.- 3.1 Addition und Subtraktion von Vektoren.- 3.2 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar.- 3.3 Skalarprodukt (inneres Produkt).- 3.4 Vektorprodukt ( u eres Produkt, Kreuzprodukt).- 3.5 Spatprodukt (gemischtes Produkt).- 3.6 Formeln f r Mehrfachprodukte.- 4 Ableitung eines Vektors nach einem Parameter.- 4.1 Vektordarstellung einer Kurve.- 4.2 Tangentenvektor (Ableitung eines Vektors nach einem Parameter).- 5 Anwendungen.- 5.1 Arbeit einer konstanten Kraft.- 5.2 Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor.- 5.3 Vektorielle Darstellung einer Geraden.- 5.3.1 Punkt-Richtungs-Form.- 5.3.2 Zwei-Punkte-Form.- 5.3.3 Abstand eines Punktes von einer Geraden.- 5.3.4 Abstand zweier windschiefer Geraden.- 5.3.5 Schnittpunkt und Schnittwinkel zweier Geraden.- 5.4 Vektorielle Darstellung einer Ebene.- 5.4.1 Punkt-Richtungs-Form.- 5.4.2 Drei-Punkte-Form.- 5.4.3 Ebene senkrecht zu einem Vektor

Das Studium der Ingenieur- und Naturwissenschaften verlangt nach rasch zuganglichen Informationen. Die vorliegende Mathematische Formelsammlung fijr Ingenieure und Natur wissenschaftler wurde dementsprechend gestaItet. Zur Auswahl des Stoffes Ausgehend von der elementaren Schulmathematik (z. B. Bruchrechnung, Gleichungen mit einer Unbekannten, Lehrsatze aus der Geometrie) werden aile flir den Ingenieur und Natur wissenschaftler wesentlichen mathematischen Stoffgebiete behandeIt. Dabei wurde der erprobte und bewahrte Aufbau des Lehr- und Arbeitsbuches Mathematik fijr Ingenieure I, 2 konsequent beibehalten. Der Benutzer wird dies sicherlich als hilfreich empfinden. 1m Anhang dieser Formelsammlung befindet sich eine ausflihrliche Integraltafel mit liber 400 in den naturwissenschaftlich-technischen Anwendungen besonders haufig auftretenden Integralen. Der Druck dieser Tafel erfolgte auf eingeHirbtem Papier, urn einen raschen Zugriff zu ermoglichen. Behandelt werden folgende Stoffgebiete: Allgemeine Grundlagen aus Algebra, Arithmetik und Geometrie Vektorrechnung Funktionen und Kurven Differen tialrechnung Integralrechnung Unendliche Reihen, Taylor- und Fourier-Reihen Lineare Algebra Komplexe Zahlen und Funktionen Differential- und Integralrechnung flir Funktionen von mehreren Variablen Gewohnliche Differentialgleichungen Fehler- und Ausgleichsrechnung Laplace-Transformation Zur Darstellung des Stoffes Die Darstellung der mathematischen Begriffe, Formeln und Satze erfolgt in anschaulicher und allgemeinverstandlicher Form. Wichtige Formeln wurden gerahmt und zusatzlich durch Bilder verdeutIicht. Zahlreiche Beispiele helfen, die Formeln treffsicher auf eigene Problem stellungen anzuwenden. Ein ausfiihrliches InhaIts- und Sachwortverzeichnis ermoglicht ein rasches Auffinden der gewlinschten Information. VI Vorwort Eine Bitte des Autors FUr Hinweise und Anregungen - insbesondere auch aus dem Kreis der Studenten - bin ich stets dankbar."

Dieses Übungsbuch enthält 222 Anwendungsbeispiele aus Elektrotechnik, Maschinenbau, Bauingenieurwesen, Physik und Chemie. In den ausführlich und vollständig durchgerechneten Lösungen wird gezeigt, wie man die im Studium erworbenen mathematischen Kenntnisse auf Fragestellungen aus Naturwissenschaft und Technik erfolgreich anwendet. Ein Anhang stellt die zugrundeliegenden physikalischen Formeln bereit und ist mit farblichem Papier schnell aufzufinden. In der aktuellen Auflage wurden an etlichen Stellen Texte und Formeln für eine noch bessere Verständlichkeit ergänzt.

Dieses Klausur- und Übungsbuch sichert die systematische Klausurvorbereitung anhand erprobter Prüfungs- und Kontrollaufgaben. 711 ausführlich und vollständig gelöste, meist anwendungsorientierte Übungs- und Klausuraufgaben bieten dem Studierenden Hilfestellung und Unterstützung. Alle Aufgaben sind in kleinen Schritten durchgerechnet. Somit ist der gesamte Lösungsweg leicht nachvollziehbar. Besondere Sorgfalt wird dabei auf die elementaren Rechenschritte gelegt. Auf die entsprechenden Kapitel in den Lehrbüchern und in der Formelsammlung des gleichen Autors wird verwiesen. Das große Buchformat ermöglicht eine übersichtliche Darstellung der Gleichungen. Die aktuelle Auflage enthält jetzt auch 79 Aufgaben zur Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Dieses Standardlehrwerk ermöglicht einen nahtlosen Übergang von der Schul- zur Hochschulmathematik mit einem klaren Fokus auf der Praxis. Dabei ist die Darstellung auf die Bedürfnisse und Anwendungen der Ingenieur- und Naturwissenschaften abgestimmt, die die Mathematik als Werkzeug und Hilfsmittel benötigen. Das sechsbändige Lehr- und Lernsystem besticht durch seine Verständlichkeit und Anschaulichkeit. Über 500 vollständig durchgerechnete Beispiele aus Naturwissenschaft und Technik belegen den starken Praxisbezug. Die aktuelle Auflage wurde vor allem im Bereich der Funktionen um spezielle ebene Kurven, wie z. B. Zykloiden und Spiralen, deutlich erweitert und um Übungsaufgaben dazu ergänzt.

Dieses anwendungsnahe Lehrbuch rundet das sechsbändige Lehr- und Lernsystem ab. Dabei richtet es sich speziell an Studierende im Hauptstudium. Auch bei diesem Band werden die Themen für die besonderen Bedürfnisse und Anwendungen von Naturwissenschaften und Technik mit starkem Praxisbezug dargestellt. Die aktuelle 8. Auflage wurde v. a. im Bereich der Wahrscheinlichkeitsverteilungen erweitert und umfasst nun auch die Weibullverteilung, die u. a. genutzt wird, um die Windverteilung bei der Suche nach geeigneten Standorten für Windkraftanlagen zu bestimmen. Die theoretischen Erläuterungen werden auch hier durch ein ausführliches Beispiel sowie Übungsaufgaben ergänzt.

In Naturwissenschaften und Technik nutzen Studierende und Fachleute in der Praxis die Mathematik als Hilfsmittel und Werkzeug. Auch der vorliegende Band 2 des sechsteiligen Lehr- und Lernsystems bietet eine auf diese Bedürfnisse abgestimmte Darstellung mit hohem Anwendungsbezug. Im Vordergrund stehen dabei Verständlichkeit und Anschaulichkeit unterstützt durch 300 vollständig durchgerechnete Beispiele. Die aktuelle Auflage wurde vor allem in den Bereichen der elektrischen Schwingungen der Kapitel zu gewöhnlichen DGLs und zu Anwendungen der Fouriertransformation überarbeitet und deutlich erweitert, ebenso wie die Anwendungen der Laplace-Transformation.

Dieses Klausur- und Übungsbuch vervollständigt das sechsbändige Lehr- und Lernsystem zur Hochschulmathematik und bietet eine systematische Klausurvorbereitung anhand erprobter Prüfungs- und Kontrollaufgaben. Über 700 vollständig gelöste und zumeist anwendungsorientierte Aufgaben geben Hilfestellung und Unterstützung. Alle Aufgaben sind für eine optimale Nachvollziehbarkeit in kleinen Schritten durchgerechnet mit besonderem Fokus auf die elementaren Rechenschritte. Zudem erfolgen wo notwendig Verweise auf die entsprechenden Kapitel in den Lehrbüchern und der Formelsammlung des Buchsystems. Die aktuelle 7. Auflage wurde an die Erweiterungen der Bände 1 bis 3 angepasst und um Aufgaben u. a. in den Bereichen der Taylor- und Fourier-Reihen, der Mehrfachintegrale und der gewöhnlichen Differentialgleichungen ergänzt sowie insbesondere zur Weibullverteilung.

Diese Formelsammlung ist Teil des sechsbändigen Lehr- und Lernsystems zur Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Mit seinem ausführlichen Inhalts- und Sachwortverzeichnis ermöglicht es das schnelle Auffinden der benötigten Informationen und alle wichtigen Daten werden durch Formeln verdeutlicht.