Alain Connes

Die Mathematiker leben im allgemeinen gut mit den Biologen zusammen. Aber sie reden wenig miteinander. Ihre Erkenntnisse und Beweggriinde sind so weit voneinander entfernt, daB ein Dialog unmoglich scheint. Jedoch kann ein betrachtlicher Gewinn erzielt werden. Niemand wird bestreiten, daB man die Mathematik mit dem Gehirn betreibt. Jedoch ist es bisher keiner yom Menschen konstruierten Maschine gelungen, die verniinftigen und erfinderi- schen Fahigkeiten unserer zerebralen Maschine nachzumachen. Kommt man eines Tages dahin? Kann eine echte kiinstliche Intelligenz aus der unbelebten Materie entstehen? Dies ist die zentrale Frage dieses Buches. Bevor man diese Frage beantworten kann, muB man die Mathematik definieren. Was ist die Natur der mathematischen Objekte? Existieren diese unabhangig yom Gehirn des Menschen, der sie entdeckt? Oder sind sie im Gegenteil nur das Produkt der Gehirnaktivitat, die sie konstruiert? Die jiing- sten Entwicklungen der Neurowissenschaften, der Wissenschaft yom Nerven- system, liefern neue Gesichtspunkte zu einem Fragekomplex, der schon in den Dialogen von Plato behandelt wurde. Die Mathematik ist in Paris, in Moskau und in San Francisco die gleiche.

Noncommutative Geometry is one of the most deep and vital research subjects of present-day Mathematics. Its development, mainly due to Alain Connes, is providing an increasing number of applications and deeper insights for instance in Foliations, K-Theory, Index Theory, Number Theory but also in Quantum Physics of elementary particles. The purpose of the Summer School in Martina Franca was to offer a fresh invitation to the subject and closely related topics; the contributions in this volume include the four main lectures, cover advanced developments and are delivered by prominent specialists.

This English version of the path-breaking French book on this subject gives the definitive treatment of the revolutionary approach to measure theory, geometry, and mathematical physics developed by Alain Connes. Profusely illustrated and invitingly written, this book is ideal for anyone who wants to know what noncommutative geometry is, what it can do, or how it can be used in various areas of mathematics, quantization, and elementary particles and fields.