Bartel L. van der Waerden

Das vorliegende Buch ist aus einer langjahrigen Beschaftigung mit den praktischen Anwendungen hervorgegangen. Seit meiner Studenten- zeit sind immer wieder Volkswirtschaftler, Mediziner, Physiologen, Biologen und Ingenieure mit statistischen Fragen zu mir gekommen. Durch N achdenken und Literaturstudium habe ich immer bessere Methoden kennengelernt. Diese Methoden sollen hier begrundet und auf moglichst lehrreiche Beispiele aus den N atur- und Sozialwissen- schaften angewandt werden. So hoffe ich, dem Leser manche Irrwege, die ich anfangs gegangen bin, zu ersparen. Die Beispiele sind nicht aus der Theorie heraus konstruiert, sondern der Praxis entnommen; daher waren bei manchen Beispielen ausfiihrliche Erlauterungen notwendig. Die mathematischen Grundbegriffe habe ich so kurz wie moglich, aber doch, wie ich hoffe, verstandlich dargestellt. Manchmal waren langere theoretische Ausfiihrungen notwendig, aber wo immer moglich wurde fur schwierigere Beweise auf gute existierende Lehrbucher ver- wiesen. Es hat keinen Sinn, mathematische Theorien, die bei KOL- MOGOROFF, CARATHEODORY oder CRAMER ausfiihrlich und deutlich dar- gestellt sind, noch einmal zu entwickeln. Die Elemente der Funktionentheorie und der LEBEsGuEschen Inte- grationstheorie wurden als bekannt vorausgesetzt. Das bedeutet natur- lich nicht, daB ein Leser ohne diese Vorbereitungen das Buch nicht verstehen kann: er muB eben gewisse Satze ohne Beweis annehmen oder sich auf die mehr elementaren Teile beschranken, in denen nur Differential-und Integralrechnung und Analytische Geometrie voraus- gesetzt wird (Kap.1 bis 4, 10 und 12).

The German edition of this book appeared in 1932 under the title "Die gruppentheoretische Methode in der Quantenmechanik". Its aim was, to explain the fundamental notions of the Theory of Groups and their Representations, and the application of this theory to the Quantum Mechanics of Atoms and Molecules. The book was mainly written for the benefit of physicists who were supposed to be familiar with Quantum Mechanics. However, it turned out that it was also used by. mathematicians who wanted to learn Quantum Mechanics from it. Naturally, the physical parts were too difficult for mathematicians, whereas the mathematical parts were sometimes too difficult for physicists. The German language created an additional difficulty for many readers. In order to make the book more readable for physicists and mathe­ maticians alike, I have rewritten the whole volume. The changes are most notable in Chapters 1 and 6. In Chapter t, I have tried to give a mathematically rigorous exposition of the principles of Quantum Mechanics. This was possible because recent investigations in the theory of self-adjoint linear operators have made the mathematical foundation of Quantum Mechanics much clearer than it was in t 932. Chapter 6, on Molecule Spectra, was too much condensed in the German edition. I hope it is now easier to understand. In Chapter 2-5 too, numerous changes were made in order to make the book more readable and more useful.

Als ich 1945 in MUnster zu studieren begann, war van dec Waerdens "Mo- deme Algebra" eines dec wenigen Bticher, die ich mir in diesen schwierigen Zeiten leihen konnte. Wie vielen Studenten so war also auch mir . ,dervan dec Waerden" vertraut von Anfang des Studiums an. lch lernte van dec Waerden einige Jahre spaler kennen, und er sagte miT, wie merkwiirdig es sei, daB alle Mathematiker ibn wegen dieses Buches kennen, das Vorlesungen von Emil Artin und Emmy Noether benutzt, wahrend seine wirklichen mathemati- schen Leistungen gam woanders Uigen. In dem Gesprach zeigte sich dann, dall van dec Waerden seine Arheiten zur algebraischen Geometrie nnd insbe- sondere die in den Mathematischen Annalen erschienene Reihe "Zur alge- braischen Geometrie" 1 die es in weiteren Jahren his zur NT. 20 bringen sollte, fUr das Wichtigste hielt. (Etwa 30 Jahre spater war ich zu einem Essen zu Ehren der Trager des Ordens Pour Ie Merite fUr Wissenschaft und Kunste ein- geladen. Die beiden Ordenstrager van der Waerden und Elias Canetti unter- hielten sich. Canetti bedauerte, dall man ibn hauptsachlich wegen seines Bu- ches ,. Die gerettete Zunge" kenne, wahrend andere Schriften doch viet wich- tiger seien. Van der Waerden rief aus "Aber mir geht es doch gaOl genau so mit meinem Algebra-Buch". ) Van der Waerden ist ein so ungewohnlich vielseitiger Mathematiker mit bedeutenden Buchem und Arbeiten aus zahlreichen weit von einander ent* fernten Gebieten, dal3 die Entscheidung des Verlages, diese Setecta der alge- braischen Geometrie zu widmen, sicberlich nicht selbstverstiindlich war.

Originally, my intention was to write a "History of Algebra", in two or three volumes. In preparing the first volume I saw that in ancient civiliza­ tions geometry and algebra cannot well be separated: more and more sec­ tions on ancient geometry were added. Hence the new title of the book: "Geometry and Algebra in Ancient Civilizations". A subsequent volume on the history of modem algebra is in preparation. It will deal mainly with field theory, Galois theory and theory of groups. I want to express my deeply felt gratitude to all those who helped me in shaping this volume. In particular, I want to thank Donald Blackmore Wagner (Berkeley) who put at my disposal his English translation of the most interesting parts of the Chinese "Nine Chapters of the Art of Arith­ metic" and of Liu Hui's commentary to this classic, and also Jacques Se­ siano (Geneva), who kindly allowed me to use his translation of the re­ cently discovered Arabic text of four books of Diophantos not extant in Greek. Warm thanks are also due to Wyllis Bandler (Colchester, England) who read my English text very carefully and suggested several improve­ ments, and to Annemarie Fellmann (Frankfurt) and Erwin Neuenschwan­ der (Zurich) who helped me in correcting the proof sheets. Miss Fellmann also typed the manuscript and drew the figures. I also want to thank the editorial staff and production department of Springer-Verlag for their nice cooperation.

Formal logic presupposes a formal language. A rudimentary formal language was given by G. Boole. A formal language which was sufficient for the purpose of mathematics was constructed by Gottlob Frege in his book " Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formel- sprache des reinen Denkens" (1879). Since that time we have an abun- dant spectrum of logics based on formal languages. There are applications mainly in mathematics ("metamathematics"), but also e. g. in philos- ophy, linguistics and computer science. The most important formal language is the first order predicate calculus. There has been a gradual emancipation of this language via the theory of types given by Bertrand Russell. This paper discusses that development in some details. Diskussion Herr Hlawka: Sie haben gesagt, der Wiener Kreis sei tiber Carnap von Frege beeinfluBt gewesen. Ich wtirde eher meinen, tiber Russell. Dann haben Sie gesagt, daB bei Frege der Funktionsbegriff im Vorder- grund steht. Ich finde, daB dieser Gesichtspunkt gerade in der von Neu- mannschen Theorie verwirklicht ist. Herr Hermes: Von Neumann hat in der Tat den Funktionsbegriff als Grundbegriff der Mengenlehre gewahlt. Es hat aber niemand direkt dar- an angekntipft. Herr Hlawka: Vielleicht die moderne Kategorientheorie. Herr Hermes: Das stimmt. Herr Hlawka: Aber dann ist es doch so, daB der Pradikatenkalktil der ersten Stufe nur dann ausreicht, die klassische Mathematik zu begrtin- den, das heiBt kurz das, was bei Bourbaki steht, wenn man die Mengen- lehre als Fundament nimmt.

In allen experimentellen Naturwissenschaften hat man immer wieder Mel3reihen miteinander zu vergleichen und festzustellen, ob ein etwa gefundener Unterschied gral3er ist als die rein zuHillig zu erwartenden Unterschiede. In der Physik und Chemie sind die zufalligen Schwan- kungen der gem essen en Gral3en meistens nur durch Mel3fehler bedingt, fur die man das GAusssche Fehlergesetz annehmen kann. Hat man es aber mit lebenden Wesen zu tun, so treten Schwankungen auf, die im allgemeinen un bekann ten Verteilungsgesetzen gen ugen. Lal3t man die Annahme der Normalverteilung fallen, so werden auch die herkamm- lichen Methoden der Fehlertheorie hinfallig und man ist auf Anord- nungsteste (order tests) angewiesen, die nur die Anordnung der be- obachteten Gral3en benutzen. In neuester Zeit sind sehr gute Anordnungstests zum Vergleich zweier Stichproben entwickelt worden, insbesondere der X-Test und der Zeichentest. Urn diese Tests bequem anwenden zu kannen, braucht man Tafeln, aus denen man die Verwerfungsschranken ablesen kann. ' Solche Tafeln sollen jetzt vorgelegt werden. Urn die Benutzung der Tafeln in andern Sprachgebieten zu erleich- tern, wurden am Schlusse des Buches Anwendungsvorschriften in eng- Ii scher Sprache beigegeben, Zurich, Marz 1956 B. L VAN DER W AERDEN ERWIN NIEVERGELT Inhaltsverzeichnis SeHe I. Theoretische Grundlagen 1 A. Der X-Test ...1 B. Der Zeichentest ...11 C. Die Berechnung der Tafeln 13 II. Anwendungsvorschriften 14 III. Tafeln ...21 Application of the tests IV.