Egbert Brieskorn

Felix Hausdorff is a singular phenomenon in the history of science. As a mathematician, he played a major role in shaping the development of modern mathematics in the 20th century. He founded general topology as an independent mathematical discipline, while enriching set theory with a number of fundamental concepts and results. His general approach to measure and dimension led to profound developments in numerous mathematical disciplines, and today Hausdorff dimension plays a central role in fractal theory with its many fascinating applications by means of computer graphics. Hausdorff ’s remarkable mathematical versatility is reflected in his published work: today, no fewer than thirteen concepts, theorems and procedures carry his name. Yet he was not only a creative mathematician – Hausdorff was also an original philosophical thinker, a poet, essayist and man of letters. Under the pseudonym Paul Mongré, he published a volume of aphorisms, an epistemological study, abook of poetry, an oft-performed play, and a number of notable essays in leading literary journals. As a Jew, Felix Hausdorff was increasingly persecuted and humiliated under the National Socialist dictatorship. When deportation to a concentration camp was imminent, he, along with his wife and sister-in law, decided to take their own lives. This book will be of interest to historians and mathematicians already fascinated by the rich life of Felix Hausdorff, as well as to those readers who wish to immerse themselves in the intricate web of intellectual and political transformations during this pivotal period in European history.

Felix Hausdorff is a singular phenomenon in the history of science. As a mathematician, he played a major role in shaping the development of modern mathematics in the 20th century. He founded general topology as an independent mathematical discipline, while enriching set theory with a number of fundamental concepts and results. His general approach to measure and dimension led to profound developments in numerous mathematical disciplines, and today Hausdorff dimension plays a central role in fractal theory with its many fascinating applications by means of computer graphics. Hausdorff ’s remarkable mathematical versatility is reflected in his published work: today, no fewer than thirteen concepts, theorems and procedures carry his name. Yet he was not only a creative mathematician – Hausdorff was also an original philosophical thinker, a poet, essayist and man of letters. Under the pseudonym Paul Mongré, he published a volume of aphorisms, an epistemological study, abook of poetry, an oft-performed play, and a number of notable essays in leading literary journals. As a Jew, Felix Hausdorff was increasingly persecuted and humiliated under the National Socialist dictatorship. When deportation to a concentration camp was imminent, he, along with his wife and sister-in law, decided to take their own lives. This book will be of interest to historians and mathematicians already fascinated by the rich life of Felix Hausdorff, as well as to those readers who wish to immerse themselves in the intricate web of intellectual and political transformations during this pivotal period in European history.

Felix Hausdorff ist eine singuläre Erscheinung in der Geschichte der Wissenschaft. Als Mathematiker hat er die Entwicklung der modernen Mathematik des 20. Jahrhunderts wesentlich mitgeprägt. Er begründete die allgemeine Topologie als eigenständige mathematische Disziplin und bereicherte die Mengenlehre um eine Reihe grundlegender Konzepte und Resultate. Auf den von Hausdorff geschaffenen und später nach ihm benannten Maß- und Dimensionsbegriff gehen tiefgreifende Folgeentwicklungen in zahlreichen mathematischen Disziplinen zurück, die bis in die Physik hinein wirken. Diese Hausdorffschen Schöpfungen liegen auch der sogenannten Fraktaltheorie mit ihren faszinierenden Computergraphiken zugrunde. Die Vielseitigkeit von Hausdorffs Wirken zeigt auch die Tatsache, dass in der Mathematik nicht weniger als 13 Begriffe, Theoreme und Verfahren nach ihm benannt sind. Aber Hausdorff war nicht nur Mathematiker. Er war auch ein origineller philosophischer Denker, Literat und Essayist. Unter Pseudonym erschienen ein Aphorismenband, ein erkenntniskritisches Buch, ein Gedichtband, ein erfolgreiches Theaterstück und eine Reihe bemerkenswerter Essays in führenden literarischen Zeitschriften. Als Jude wurde er unter der nationalsozialistischen Diktatur zunehmend verfolgt und gedemütigt. Als die Deportation in ein Konzentrationslager unmittelbar bevorstand, nahm er sich gemeinsam mit seiner Frau und seiner Schwägerin das Leben.

Dieser Band ist der dritte Teil des Lehrbuches von Egbert Brieskorn zur Linearen Algebra und analytischen Geometrie und legt den Schwerpunkt auf die Geometrie im euklidischen Raum. Er beginnt mit einem sorgfältigen Studium der Isometriegruppen euklidischer affiner Räume und ihrer Ähnlichkeitsabbildungen, führt über die Länge rektifizierbarer Kurven den Winkelbegriff der euklidischen Geometrie ein und entwickelt die Grundkonzepte der ebenen und sphärischen Trigonometrie. Daran schließt der Autor eine sorgfältige Diskussion der Isometriegruppen und der konformen Abbildungen der Sphären an und streicht die resultierende Sonderstellung der Sphären unter den kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeiten heraus. Anschließend an eine Bemerkung Hermann Weyls über die tief liegende Rolle des Spins für die euklidische Geometrie macht der Autor einen längeren Ausflug in die Spindarstellung der euklidischen Rotationsgruppe sowie der Lorentzgruppe. Der Band wird durch eine detaillierte Klassifikation der euklidischen Isometrien und eine Klassifikation der affinen Quadriken mit Blick auf das klassische Studium der Kegelschnitte abgerundet. Im Anhang des Buches befinden sich Anmerkungen zur Geschichte der Euklidischen Geometrie von Erhard Scholz.

In a detailed and comprehensive introduction to the theory of plane algebraic curves, the authors examine this classical area of mathematics that both figured prominently in ancient Greek studies and remains a source of inspiration and a topic of research to this day. Arising from notes for a course given at the University of Bonn in Germany, “Plane Algebraic Curves” reflects the authors' concern for the student audience through its emphasis on motivation, development of imagination, and understanding of basic ideas. As classical objects, curves may be viewed from many angles. This text also provides a foundation for the comprehension and exploration of modern work on singularities. --- In the first chapter one finds many special curves with very attractive geometric presentations - the wealth of illustrations is a distinctive characteristic of this book - and an introduction to projective geometry (over the complex numbers). In the second chapter one finds a very simple proof of Bezout’s theorem and a detailed discussion of cubics. The heart of this book - and how else could it be with the first author - is the chapter on the resolution of singularities (always over the complex numbers). (…) Especially remarkable is the outlook to further work on the topics discussed, with numerous references to the literature. Many examples round off this successful representation of a classical and yet still very much alive subject. (Mathematical Reviews)

Die Jordanzerlegung in halbeinfachen und nilpotenten Anteil lieferte uns die charakteristische Abbildung n M{n x n, K) K, x die jeder Matrix A die Koeffizienten (a, ---, a ) des charakteristischen 1 n Polynoms von A zuordnet. Mit Hilfe dieser Abbildung hatten wir das Klassi- fikationsproblem in zwei Teilprobleme A und B aufgespalten. Problem A Hier bestand das Problem in der Klassifikation der halbeinfachen Matrizen bis auf Konjugation. Das Hauptresultat war der Satz 11.45*. Die Konjugations- klassen halbeinfacher Matrizen entsprechen bijektiv den Punkten des affinen Raumes . Eine Einteilung der halbeinfachen Konjugationsklassen in Typen ergibt sich in naturlicher Weise durch die algebraischen Multiplizitaten der Eigenwerte Ai - Dabei entsprechen die regularen Elemente, d.h. die- n jenigen mit m = 1, gerade den Punkten von K 1m Komplement der Disk- i n minantenmenge D cK, und den verschiedenen Typen von singul4ren Elementen entsprechen, wie wir an Beispielen gesehen haben, verschiedene Strata (d.h. Schichten) von D, welche man analytisch-geometrisch charakterisieren kann. 1m Fall K = Roder K = sehen wir also, daB die Konjugationsklassen der halbeinfachen Anteile eine kontinuierliche Mannigfaltigkeit bilden, namlich einen affinen Raum Kn, und daB die weitere Typeneinteilung dieser Konju- gationsklassen mit der analytischen Geometrie der Diskriminantenmengen n D c. K zusammenhangt.

Die Jordanzerlegung in halbeinfachen und nilpotenten Anteil lieferte uns die charakteristische Abbildung n M{n x n, K) K, x die jeder Matrix A die Koeffizienten (a,, a ) des charakteristischen 1 n Polynoms von A zuordnet. Mit Hilfe dieser Abbildung hatten wir das Klassi fikationsproblem in zwei Teilprobleme A und B aufgespalten. Problem A Hier bestand das Problem in der Klassifikation der halbeinfachen Matrizen bis auf Konjugation. Das Hauptresultat war der Satz 11.45*. Die Konjugations klassen halbeinfacher Matrizen entsprechen bijektiv den Punkten des affinen Raumes . Eine Einteilung der halbeinfachen Konjugationsklassen in Typen ergibt sich in naturlicher Weise durch die algebraischen Multiplizitaten der Eigenwerte Ai Dabei entsprechen die regularen Elemente, d.h. die n jenigen mit m = 1, gerade den Punkten von K 1m Komplement der Disk- i n minantenmenge D cK, und den verschiedenen Typen von singul4ren Elementen entsprechen, wie wir an Beispielen gesehen haben, verschiedene Strata (d.h. Schichten) von D, welche man analytisch-geometrisch charakterisieren kann. 1m Fall K = Roder K = sehen wir also, daB die Konjugationsklassen der halbeinfachen Anteile eine kontinuierliche Mannigfaltigkeit bilden, namlich einen affinen Raum Kn, und daB die weitere Typeneinteilung dieser Konju gationsklassen mit der analytischen Geometrie der Diskriminantenmengen n D c. K zusammenhangt."

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