Ehrhard Behrends

The aim of the book is to study symmetries and tesselation, which have long interested artists and mathematicians. Famous examples are the works created by the Arabs in the Alhambra and the paintings of the Dutch painter Maurits Escher. Mathematicians did not take up the subject intensively until the 19th century. In the process, the visualisation of mathematical relationships leads to very appealing images. Three approaches are described in this book.In Part I, it is shown that there are 17 principally different possibilities of tesselation of the plane, the so-called 'plane crystal groups'. Complementary to this, ideas of Harald Heesch are described, who showed how these theoretical results can be put into practice: He gave a catalogue of 28 procedures that one can use creatively oneself – following in the footsteps of Escher, so to speak – to create artistically sophisticated tesselation.In the corresponding investigations forthe complex plane in Part II, movements are replaced by bijective holomorphic mappings. This leads into the theory of groups of Möbius transformations: Kleinian groups, Schottky groups, etc. There are also interesting connections to hyperbolic geometry.Finally, in Part III, a third aspect of the subject is treated, the Penrose tesselation. This concerns results from the seventies, when easily describable and provably non-periodic parquetisations of the plane were given for the first time.

Ziel des Buches ist das Studium von Symmetrien und Parkettierungen, die Künstler und Mathematiker schon seit langer Zeit interessieren. Berühmte Beispiele sind die von den Arabern in der Alhambra geschaffenen Werke und die Bilder des holländischen Malers Maurits Escher. Die Mathematiker haben sich erst im 19. Jahrhundert des Themas intensiv angenommen. Dabei führt die Visualisierung der mathematischen Zusammenhänge zu sehr ansprechenden Bildern. Drei Ansätze werden in diesem Buch beschrieben. In Teil I wird dargestellt, dass es 17 prinzipiell verschiedene Möglichkeiten von Parkettierungen der Ebene gibt, die so genannten "Ebenen Kristallgruppen". Ergänzend dazu werden Ideen von Harald Heesch beschrieben, der zeigte, wie diese theoretischen Ergebnisse praktisch umgesetzt werden können: Er gab einen Katalog von 28 Verfahren an, die man selbst - sozusagen auf den Spuren von Escher - kreativ zur Schaffung künstlerisch anspruchsvoller Parkettierungen verwenden kann. Bei den entsprechenden Untersuchungen für die komplexe Ebene in Teil II werden Bewegungen durch bijektive holomorphe Abbildungen ersetzt. Das führt in die Theorie der Gruppen von Möbiustransformationen: Kleinsche Gruppen, Schottkygruppen usw. Dort gibt es auch interessante Verbindungen zur hyperbolischen Geometrie. Schließlich wird in Teil III noch ein dritter Aspekt des Themas behandelt, die Penroseparkettierungen. Dabei geht es um Ergebnisse aus den siebziger Jahren, als erstmals einfach zu beschreibende und beweisbar nichtperiodische Parkettierungen der Ebene angegeben wurden.

Es gibt eine Fülle von wirkungsvollen Zaubertricks, die auf sehr einfachen mathematischen Tatsachen beruhen. In den 15 Kapiteln des vorliegenden Buchs wird gezeigt, dass es interessante Berührungspunkte zwischen Zauberei und Mathematik gibt, die viele mathematische Teilgebiete betreffen (Kombinatorik, Codierungstheorie, Zahlentheorie, Wahrscheinlichkeitsrechnung, …). Wer hätte gedacht, dass man in einem Buch über Zauberei auf Stichworte wie zum Beispiel Fibonaccizahlen, quadratische Reste, Normalteiler oder Stoppzeiten stoßen würde?In jedem Kapitel wird zunächst kurz ein Zaubertrick vorgestellt, und dann wird der zugehörige mathematische Hintergrund ausführlich erläutert. Das gibt oft Anlass zu interessanten Variationen und Verfeinerungen.Natürlich ist es auch möglich, das Buch als Sammlung von Zaubertricks zu lesen und sich zu eigenen zauberischen Aktivitäten anregen zu lassen, ohne in allen Fällen den mathematischen Hintergrund vertieft zu haben.Als Zielgruppesind alle Interessenten mit mathematischen Vorkenntnissen angesprochen, neben Mathematikern auch Physiker, Informatiker und Ingenieure. Studierende der Mathematik können einen interessanten Aspekt ihres Faches kennen lernen, und Dozenten wird die Gelegenheit gegeben, etwas Neues bei ihren Aktivitäten für die Öffentlichkeit auszuprobieren.

In diesem Analysisbuch wird besonders viel Wert darauf gelegt, die Anfängerschwierigkeiten zu berücksichtigen: Alle neuen Begriffe werden ausführlich motiviert, die Beweisstrukturen werden so transparent wie möglich gemacht. Während der Vorbereitung gab es eine besonders intensive Zusammenarbeit mit einer Gruppe von Studierenden; alles, was ihrer Meinung nach zum besseren Verständnis hätte gesagt werden können, ist aufgenommen worden. Das Buch enthält zahlreiche Übungsaufgaben und Tipps zur Lösung. Die vollständigen, ausführlichen Lösungen zu den Übungsaufgaben findet man auf der Autorenwebsite http://page.mi.fu-berlin.de/bhrnds/analysis/. Das Buch ist auch zum Selbststudium geeignet. Schon im Text gibt es zahlreiche Fragen zum Mitdenken, und nach jedem Kapitel findet man - für spätere Prüfungsvorbereitungen - eine Sammlung von Verständnisfragen.Es werden auch viele Fragen angesprochen, die nicht direkt zur Analysis gehören: Grundlagen der Logik, Computeralgebrasysteme, Mathematik und Realität usw.

Das Buch enthält einen Querschnitt durch die moderne und alltägliche Mathematik. Die 100 Beiträge sind aus der Kolumne "Fünf Minuten Mathematik" hervorgegangen, in der verschiedene mathematische Gebiete in einer für Laien verständlichen Sprache behandelt wurden. Der Leser findet hier den mathematischen Hintergrund und viele attraktive Fotos zur Veranschaulichung der Mathematik. Für die Neuauflage wurde der Text aktualisiert und ergänzt; anhand von QR-Codes können zu verschiedenen Themen kurze Filme bei Youtube abgerufen werden.

In diesem Lehrbuch werden einige Themen aus der Stochastik behandelt, die auf dem Begriff des Markovprozesses aufbauen. Dabei sind Markovprozesse stochastische Prozesse, für welche die Prognose für das zufällige Verhalten in der Zukunft nur von der gegenwärtigen Position abhängt. Die zentralen Begriffe der Markovprozesse werden anschaulich erklärt und mit Beispielen motiviert. Der Text beschäftigt sich danach mit der Brownschen Bewegung, stochastischen Integralen und stochastischen Differentialgleichungen und beschreibt ausführlich die fundamentale Ito-Formel. Eine der klassischen Anwendungen von stochastischen Differentialgleichungen sind Monte-Carlo-Verfahren zur Lösung von partiellen Differentialgleichungen. In den beiden letzten Kapiteln werden einige der grundlegenden Begriffe der Finanzmathematik eingeführt und es wird gezeigt, wie man Methoden der stochastischen Differentialgleichungen erfolgreich einsetzen kann, um Optionen korrekt zu bewerten (Black-Scholes-Formel).

In diesem Lehrbuch kommen die wichtigsten Konzepte der elementaren Stochastik vor, und es wird klar, dass sie eine enge Beziehung zum "wirklichen Leben" haben. Es ist kein "trockenes" Lehrbuch, sondern es enthält neben dem Lehrstoff viele ergänzende Bemerkungen und Bilder zur Illustration. Man kann sich einige der behandeltenThemen auch durch kleine Computerprogramme visualisieren lassen, die auf der zum Buch gehörigen Internetseite zur Verfügung gestellt werden. Das Buch ist auch zum Selbststudium gut geeignet. Alle neuen Begriffe werden ausführlich motiviert, die Beweisstrukturen werden so transparent wie möglich gemacht. An der Entstehung des Buches hat eine Gruppe von Studierenden intensiv mitgearbeitet.

How much math can you cover in five minutes? Quite a bit, if you have a good guide. In this collection of one hundred short essays, Ehrhard Behrends offers a tour through contemporary and everyday mathematics. The topics range from pure mathematics to applications of mathematics to observations about the mathematics that surrounds us in daily life. Here, we read about the parable of grains of rice on a chessboard, the mathematics of the lottery, music and mathematics, intriguing paradoxes, the concept of infinity, the Poincare conjecture, quantum computers, and plenty more.

Das Buch ist im Stil der Analysis 1 geschrieben: Alles wird sehr ausführlich motiviert und entwickelt, und wieder gab es eine besonders intensive Zusammenarbeit mit Studierenden. Neben dem üblichen Stoff einer Analysis 2 (Funktionenräume, Integration, Differentialrechnung für Funktionen in mehreren Veränderlichen) enthält das Buch eine Reihe von Besonderheiten, die es sonst in keinem Lehrbuch gibt. Zum Beispiel ist der Satz von Liouville enthalten, durch den garantiert wird, dass gewisse einfache Funktionen nicht geschlossen integriert werden können. Im Kapitel "Anwendungen der Integralrechnung" gibt es einen Abschnitt zur Zahlentheorie, in dem Transzendenzbeweise für konkrete Zahlen - unter anderem für die Zahl e - geführt werden; in diesem Kapitel wird auch der Existenzsatz von Picard-Lindelöf behandelt. Und schließlich gibt es noch einen ausführlichen Anhang zum Thema "Englisch für Mathematiker": Was muss man beachten, wenn man sich auf Englisch über Mathematik unterhalten möchte? In der 2.Auflage wurde der Text an vielen Stellen korrigiert, und in Kapitel 6 (Integration) wurde ein Abschnitt überarbeitet.

Besides the investigation of general chains the book contains chapters which are concerned with eigenvalue techniques, conductance, stopping times, the strong Markov property, couplings, strong uniform times, Markov chains on arbitrary finite groups (including a crash-course in harmonic analysis), random generation and counting, Markov random fields, Gibbs fields, the Metropolis sampler, and simulated annealing. With 170 exercises.

Gute Kenntnisse in Mass- und Integrationstheorie sind unerlasslich fur fast alle Bereiche der hoheren Analysis, Wahrscheinlichkeitstheorie, Statistik und Physik. In dem vorliegenden Lehrbuch wird diese Theorie von den allerersten Anfangen - Was soll eine Inhaltsmessung eigentlich leisten? - systematisch bis zur Theorie der Radonmasse entwickelt. Besonderer Wert ist auf ausfuhrliche Motivationen der neu eingefuhrten Begriffe gelegt. Dem Zugang von L. Schwartz folgend werden Radonmasse auf beliebigen topologischen Raumen behandelt, wodurch der Rieszsche Darstellungssatz sehr allgemein und ubersichtlich bewiesen werden kann. Den Bedurfnissen der Wahrscheinlichkeitstheorie wird durch die Behandlung von Massen auf unendlichen Produkten (Produktmasse, Satz von Kolmogoroff) angemessen Rechnung getragen.