Hans Grauert

Hans Grauert was one of the world's leading mathematicians in the field of Several Complex Variables; he not only shaped the development of this area decisively but was also responsible for some of its most important results. This representative selection of mathematical papers exhibits Grauert's influential research and reflects two decades of excellence. In this edition, each paper has been augmented by a detailed commentary, thus offering a comprehensive survey of the development of this fascinating subject from its beginnings in Münster and Göttingen. Hans Grauert may be regarded as a direct successor of Gauss, holding a chair at Göttingen that before him was held by Siegel, Weyl, Hilbert, Riemann and Gauss.

Hans Grauert was one of the world's leading mathematicians in the field of Several Complex Variables; he not only shaped the development of this area decisively but was also responsible for some of its most important results. This representative selection of mathematical papers exhibits Grauert's influential research and reflects two decades of excellence. In this edition, each paper has been augmented by a detailed commentary, thus offering a comprehensive survey of the development of this fascinating subject from its beginnings in Münster and Göttingen. Hans Grauert may be regarded as a direct successor of Gauss, holding a chair at Göttingen that before him was held by Siegel, Weyl, Hilbert, Riemann and Gauss.

Indocti discant, et ament meminisse periti 1. Die Idee der Riemannschen Flache wird in der Funktionentheorie mehrerer komplexer Veranderlichen erst seit Beginn der 50er Jahre konsequent verwendet. Wie in der Funktionentheorie einer Verander- lichen muB man die Gebilde untersuchen, die durch groBtmogliche analytische Fortsetzung von holomorphen Funktionen entstehen. Die gleichen Griinde wie in der klassischen Funktionentheorie machen es notwendig, die Verzweigungspunkte hinzuzunehmen. Das fiihrte jedoch auf begriffiiche Schwierigkeiten, die 1933 H. Behnke und P. Thullen in ihrem Ergebnisbericht sogar veranlaBten, diese Punkte vorerst von der Betrachtung auszuschlieBen. Eine zufriedenstellende Definition des Ver- zweigungsbegriffs wurde erst 1951 von H. Behnke und K. Stein (Math. Ann. 124) gegeben. Die von ihnen eingefiihrten komplex n Riiume um- fassen insbesondere die analytischen Gebilde holomorpher Funktiollen mehrerer Veranderlicher, d. h. die hOherdimensionalen Riemannschen Flachen. Dabei stellte sich heraus, daB diese Riemannschen Gebilde - anders als in der klassischen Funktionentheorie - Punkte ohne lokale Uniformisierende besitzen konnen. Solche Punkte wurden fort an singu- lare Punkte genannt.

From the reviews: "Theory of Stein Spaces provides a rich variety of methods, results, and motivations - a book with masterful mathematical care and judgement. It is a pleasure to have this fundamental material now readily accessible to any serious mathematician."J. Eells in Bulletin of the London Mathematical Society (1980) "Written by two mathematicians who played a crucial role in the development of the modern theory of several complex variables, this is an important book."J.B. Cooper in Internationale Mathematische Nachrichten (1979)

The aim of this book is to give an understandable introduction to the the­ ory of complex manifolds. With very few exceptions we give complete proofs. Many examples and figures along with quite a few exercises are included. Our intent is to familiarize the reader with the most important branches and methods in complex analysis of several variables and to do this as simply as possible. Therefore, the abstract concepts involved with sheaves, coherence, and higher-dimensional cohomology are avoided. Only elementary methods such as power series, holomorphic vector bundles, and one-dimensional co­ cycles are used. Nevertheless, deep results can be proved, for example the Remmert-Stein theorem for analytic sets, finiteness theorems for spaces of cross sections in holomorphic vector bundles, and the solution of the Levi problem. The first chapter deals with holomorphic functions defined in open sub­ sets of the space en. Many of the well-known properties of holomorphic functions of one variable, such as the Cauchy integral formula or the maxi­ mum principle, can be applied directly to obtain corresponding properties of holomorphic functions of several variables. Furthermore, certain properties of differentiable functions of several variables, such as the implicit and inverse function theorems, extend easily to holomorphic functions.

lesungen gemaB solI auch das Buch einem Leser, der keine Vorkenntnisse in hoherer Mathematik besitzt, die Gelegenheit geben, einen moglichst strengen und systematischen Aufbau der Theorie der reellen Funktionen kennenzulernen. Dementsprechend sind aIle Beweise bis in die Einzel- heiten hinein ausgeflihrt, und in den ersten Paragraphen werden wich- tige Beweismethoden eigens erlautert. Dabei nehmen wir jedoch den logischen und mengentheoretischen Gesetzen gegenliber einen naiven", d. h. nicht-axiomatischen, Standpunkt ein. Das gilt besonders flir das Prinzip der vollstandigen Induktion und damit auch flir den Begriff der natlirlichen Zahl und der Folge. Wir geben eine Obersicht iiber den Inhalt des Buches. Grundlegend ist der Begriff der reellen Zahl. 1m ersten Kapitel werden die Axiome des rellen Zahlkorpers mit ihren einfachsten Folge- rungen ausflihrlich besprochen; die unendlich fernen Punkte ] 00 und - 00 werden axiomatisch miteingeflihrt. Die nachsten beiden Kapitel sind dem Umgebungsbegriff und dem darauf fuBenden Grenzwertbegriff flir Folgen und Reihen gewidmet. Da wir flir die Definition der Konvergenz die natlirliche (uniforme) Topologie der Zahlengeraden zugrundelegen, bleibt die Konvergenz gegen +/- 00 ausgeschlossen. - Die Begriffe limes superior" und limes inferior" sind so gefaBt, daB sie mit der Definition der halbstetigen Funktionen harnionieren. Reelle Funktionen werden im vierten Kapitel behandelt. Vor den stetigen werden halbstetige Funktionen definiert. Dieser Funktionstyp ist in Kapitel VII flir die Definition von Umgebungen im Funktions- raum wichtig und damit zur Einflihrung des Lebesgueschen Integrals, das in diesem Buch -das unbefriedigende Riemannsche Integral ablOst.