Michael Griebel

This book is about the theory of so-called Schwarz methods for solving variational problems in a Hilbert space V arising from linear equations and their associated quadratic minimization problems. Schwarz methods are based on the construction of a sequence of approximate solutions by solving auxiliary variational problems on a set of (smaller, finite-dimensional) Hilbert spaces $V_i$ in a certain order, combining them, and using the combined approximations in an iterative procedure. The spaces $V_i$ form a so-called space splitting for V, they need not necessarily be subspaces of V, and their number can be finite or infinite. The convergence behavior of Schwarz methods is influenced by certain properties of the space splittings they are based on. These properties are identified, and a detailed treatment of traditional deterministic and more recent greedy and stochastic orderings in the subproblem solution process is given, together with an investigation of accelerated methods. To illustrate the abstract theory, the numerical linear algebra analogs of the iterative methods covered in the book are discussed. Its standard application to the convergence theory of multilevel and domain decomposition methods for solving PDE problems is explained, and links to optimization theory and online learning algorithms are given. Providing an introduction and overview of iterative methods which are based on problem decompositions and suitable for parallel and distributed computing, the book could serve as the basis for a one- or two-semester course for M.S. and Ph.D. students specializing in numerical analysis and scientific computing. It will also appeal to a wide range of researchers interested in scientific computing in the broadest sense.

The goal of Algorithmic Mathematics in Machine Learning is to explore several well-known machine learning and data analysis algorithms from a mathematical and programming perspective. In this unique book, the authors:Present machine learning methods, review the underlying mathematics, and provide programming exercises intended to deepen the reader's understanding.Accompany application areas with exercises that explore the unique characteristics of real-world data sets (e.g. pedestrian detection image data, biological cell data).Highlight new terminology and background information on mathematical concepts, as well as exercises, in "info-boxes" throughout the text.

Particle models play an important role in many applications in physics, chemistry and biology. They can be studied on the computer with the help of molecular dynamics simulations. This book presents in detail both the necessary numerical methods and techniques (linked-cell method, SPME-method, tree codes, multipole technique) and the theoretical background and foundations. It illustrates the aspects modelling, discretization, algorithms and their parallel implementation with MPI on computer systems with distributed memory. Furthermore, detailed explanations are given to the different steps of numerical simulation, and code examples are provided. With the description of the algorithms and the presentation of the results of various simulations from the areas material science, nanotechnology, biochemistry and astrophysics, the reader of this book will be able to write his own programs for molecular dynamics step by step and to run successful experiments.

Particle models play an important role in many applications in physics, chemistry and biology. They can be studied on the computer with the help of molecular dynamics simulations. This book presents in detail both the necessary numerical methods and techniques (linked-cell method, SPME-method, tree codes, multipole technique) and the theoretical background and foundations. It illustrates the aspects modelling, discretization, algorithms and their parallel implementation with MPI on computer systems with distributed memory. Furthermore, detailed explanations are given to the different steps of numerical simulation, and code examples are provided. With the description of the algorithms and the presentation of the results of various simulations from the areas material science, nanotechnology, biochemistry and astrophysics, the reader of this book will be able to write his own programs for molecular dynamics step by step and to run successful experiments.

Das Buch behandelt Methoden des wissenschaftlichen Rechnens in der Moleküldynamik, einem Bereich, der in vielen Anwendungen der Chemie, der Biowissenschaften, der Materialwissenschaften, insbesondere der Nanotechnologie, sowie der Astrophysik eine wichtige Rolle spielt. Es führt in die wichtigsten Simulationstechniken zur numerischen Behandlung der Newtonschen Bewegungsgleichungen ein. Der Schwerpunkt liegt hierbei auf der schnellen Auswertung kurz- und langreichweitiger Kräfte mittels Linked Cell-, P$/\3$M-, Baum- und Multipol-Verfahren, sowie deren paralleler Implementierung und Lastbalancierung auf Rechensystemen mit verteiltem Speicher. Die einzelnen Kapitel beinhalten darüberhinaus detailierte Hinweise, um die Verfahren Schritt für Schritt in ein Programmpaket umzusetzen. In zahlreichen farbigen Abbildungen werden Simulationsergebnisse für eine Reihe von Anwendungen präsentiert.

Dieses Buch gibt eine umfassende Einführung in die verschiedenen Aspekte der modernen Computergraphik. Neben der Diskussion grundlegender Fragestellungen (Koordinatensysteme, Rasterung, Farbmodelle) werden dabei sowohl die geometrische Modellierung dreidimensionaler Objekte als auch deren graphische Darstellung behandelt. Weiterhin wird die Rolle der Computergraphik in aktuellen Anwendungen wie Animation, Visualisierung oder Virtual Reality beleuchtet. Unterstützt durch zahlreiche, z.T. farbige Illustrationen erhält der Leser so einen Überblick über die einzelnen Arbeitsschritte und Techniken auf dem Weg zum photorealistischen Bild.

In this translation of the German edition, the authors provide insight into the numerical simulation of fluid flow. Using a simple numerical method as an expository example, the individual steps of scientific computing are presented:* The derivation of the mathematical model.* The discretization of the model equations.* The development of algorithms, - parallelization.* Visualization of the computed data. In addition to the treatment of the basic equations for modeling laminar, transient flow of viscous, incompressible fluids - the Navier-Stokes equations - the authors look at the simulation of free surface flows, energy and chemical transport, and turbulence. Detailed hints for the implementation of the various algorithms enable readers to write their own flow simulation program from scratch. The variety of applications is shown in several simulation results, including 92 black-and-white and 18 color illustrations.Moreover, after reading this book, readers should be able to understand more enhanced algorithms of computational fluid dynamics and to apply their new knowledge of modeling, discretization, parallelization, and visualization to other scientific fields, where numerical simulation has established itself, in addition to theoretical investigations and practical experiments, as a new path for uncovering the laws of nature. Among these fields are the examination of elastic solids, combustion, melting and coating processes, and crystal growth, as well as weather prediction.

Die bei der numerischen Simulation verschiedener physikalischer und techni- scher Vorgange auftretenden Differentialgleichungen fUhren nach Linearisierung und Diskretisierung zu sehr groBen linearen Gleichungssystemen, deren Be- handlung mittels traditioneller direkter oder iterativer Losungsverfahren selbst auf modernsten Computern entweder gar nicht, oder nur mit unertraglich groBem Rechenaufwand und langer Rechenzeit moglich sind. 1m letzten Jahrzehnt sind nun effiziente Verfahren entwickelt worden, die den Losungsvorgang entscheidend beschleunigen. Hierbei sind hauptsachlich Mehr- gittermethoden sowie Multilevel-Vorkonditionierer zu nennen, beide mit je- weils verschiedenen Herleitungs- und Betrachtungsweisen sowie unterschied- lichen Beweismethoden. Daneben ist durch den Einsatz paralleler Rechen- systeme eine weitere Beschleunigung des Losungsvorgangs moglich geworden. Hierbei haben sich Gebietszerlegungsverfahren, unter anderem in Verbindung mit oben erwahnten Methoden, als besonders geeignet erwiesen. In dies em Buch stellen wir nun eine neue Sichtweise und Interpretationsmoglich- keit fUr Mehrgitterverfahren, Multilevel-Vorkonditionierer und Gebietszerle- gungsmethoden fUr elliptische Probleme VOL Dazu verwenden wir ein Erzeu- gendensystem, das die Knotenbasen verschiedener Diskretisierungslevel umfaBt. Der Ritz-Galerkin-Ansatz fiihrt dann zu einem semidefiniten Gleichungssystem mit optimaler Kondition der Ordnung 0(1), wenn man von den fiir Iterations- verfahren i.a. bedeutungslosen verschwindenden Eigenwerten absieht. Die oben erwahnten effizienten Verfahren (Mehrgitter, Multilevel-Vorkonditionierer) las- sen sich nun als traditionelle iterative Methoden (GauB-Seidel, Jacobi-Vorkon- ditionierer) iiber diesem semidefiniten System interpretieren. Bei der Konver- genzanalyse dieser modernen Methoden gehen jetzt im Prinzip die gleichen Terme ein, wie schon bei der Analyse traditioneller Iterationsverfahren.