N. Bourbaki

This book is an English translation of an entirely revised version of the 1958 edition of the eighth chapter of the book Algebra, the second Book of the Elements of Mathematics.It is devoted to the study of certain classes of rings and of modules, in particular to the notions of Noetherian or Artinian modules and rings, as well as that of radical.This chapter studies Morita equivalence of module and algebras, it describes the structure of semisimple rings. Various Grothendieck groups are defined that play a universal role for module invariants.The chapter also presents two particular cases of algebras over a field. The theory of central simple algebras is discussed in detail; their classification involves the Brauer group, of which severaldescriptions are given. Finally, the chapter considers group algebras and applies the general theory to representations of finite groups.At the end of the volume, a historical note taken from the previous edition recounts the evolution of many of the developed notions.

Les Éléments de mathématique de Nicolas Bourbaki ont pour objet une présentation rigoureuse, systématique et sans prérequis des mathématiques depuis leurs fondements.Ce second volume, inédit, du Livre consacré aux Théories spectrales a pour thème les propriétés spectrales des applications linéaires.Le chapitre 3 étudie les applications linéaires compactes entre espaces vectoriels topologiques et la théorie de la perturbation par addition d'une application linéaire compacte, en particulier la théorie de Fredholm. Il se poursuit par la description du spectre d'un endomorphisme compact d'un espace de Banach, notamment les notions de spectre sensible et de spectre essentiel. On y démontre le théorème de Krein--Rutman.Le chapitre 4 contient les résultats fondamentaux de la théorie spectrale hilbertienne : opérateurs compacts et nucléaires, endomorphismes normaux, opérateurs partiels normaux. On y trouve également un exposé concis des distributions et distributions tempérées.Enfin, le chapitre 5 aborde l'étude des représentations unitaires des groupes topologiques (constructions élémentaires, lemme de Schur, représentations de carré intégrable modulo le centre, classes de représentations irréductibles). On y développe aussi la théorie des fonctions de type positif et on y démontre le théorème fondamental de Peter--Weyl.Le texte est complété par de nombreux exercices et par une note historique portant sur le contenu des chapitres 1 à 5.

This book is an English translation of an entirely revised version of the 1958 edition of the eighth chapter of the book Algebra, the second Book of the Elements of Mathematics.It is devoted to the study of certain classes of rings and of modules, in particular to the notions of Noetherian or Artinian modules and rings, as well as that of radical.This chapter studies Morita equivalence of module and algebras, it describes the structure of semisimple rings. Various Grothendieck groups are defined that play a universal role for module invariants.The chapter also presents two particular cases of algebras over a field. The theory of central simple algebras is discussed in detail; their classification involves the Brauer group, of which severaldescriptions are given. Finally, the chapter considers group algebras and applies the general theory to representations of finite groups.At the end of the volume, a historical note taken from the previous edition recounts the evolution of many of the developed notions.

Les Éléments de mathématique de Nicolas BOURBAKI ont pour objet une présentation rigoureuse, systématique et sans prérequis des mathématiques depuis leurs fondements.Le Livre de Théories spectrales est consacré à l'étude des algèbres normées et de leurs applications. Le premier chapitre met en place la théorie fondamentale des algèbres de Banach et des algèbres stellaires. Nous y présentons l'équivalence de catégories entre algèbres stellaires commutatives et espaces topologiques localement compacts, ainsi que le calcul fonctionnel holomorphe en plusieurs variables dans une algèbre de Banach commutative. La transformation de Fourier, qui est l'un des outils mathématiques les plus universels, est étudiée au second chapitre, dans le cadre des groupes localement compacts commutatifs. Le texte est complété par de nombreux exercices. Ces deux chapitres forment une édition entièrement refondue de l'édition de 1967. The Elements of Mathematics of Nicolas Bourbaki have the goal of giving a rigorous and systematic presentation of mathematics starting from the foundations, without prerequisites. The book of Spectral Theories is devoted to the study of normed algebras and their applications. The first chapter establishes the basic theory of Banach algebras and C*-algebras. We present the equivalence of categories between commutative C*-algebras and locally compact topological spaces, as well as the holomorphic functional calculus in several variables in a commutative Banach algebra.The Fourier transform, which is one of the most universal mathematical tools, is studied in the second chapter, in the context of locally compact commutative topological groups.The text is accompanied by many exercices.These two chapters are completely updated new versions of the 1967 original edition.

Ce livre des Éléments de mathématique est consacré à la Topologie algébrique. Les quatre premiers chapitres présentent la théorie des revêtements d'un espace topologique et du groupe de Poincaré. On construit le revêtement universel d'un espace connexe pointé délaçable et on établit l'équivalence de catégories entre revêtements de cet espace et actions du groupe de Poincaré. On démontre une version générale du théorème de van Kampen exprimant le groupoïde de Poincaré d'un espace topologique comme un coégalisateur de diagrammes de groupoïdes. Dans de nombreuses situations géométriques, on en déduit une présentation explicite du groupe de Poincaré.

This book is an English translation of the last French edition of Bourbaki’s Fonctions d'une Variable Réelle. The first chapter is devoted to derivatives, Taylor expansions, the finite increments theorem, convex functions. In the second chapter, primitives and integrals (on arbitrary intervals) are studied, as well as their dependence with respect to parameters. Classical functions (exponential, logarithmic, circular and inverse circular) are investigated in the third chapter. The fourth chapter gives a thorough treatment of differential equations (existence and unicity properties of solutions, approximate solutions, dependence on parameters) and of systems of linear differential equations. The local study of functions (comparison relations, asymptotic expansions) is treated in chapter V, with an appendix on Hardy fields. The theory of generalized Taylor expansions and the Euler-MacLaurin formula are presented in the sixth chapter, and applied in the last one to thestudy of the Gamma function on the real line as well as on the complex plane. Although the topics of the book are mainly of an advanced undergraduate level, they are presented in the generality needed for more advanced purposes: functions allowed to take values in topological vector spaces, asymptotic expansions are treated on a filtered set equipped with a comparison scale, theorems on the dependence on parameters of differential equations are directly applicable to the study of flows of vector fields on differential manifolds, etc.

Intégration is the sixth and last of the Books that form the core of the Bourbaki series; it draws abundantly on the preceding five Books, especially General Topology and Topological Vector Spaces, making it a culmination of the core six. The power of the tool thus fashioned is strikingly displayed in Chapter II of the author's Théories Spectrales, an exposition, in a mere 38 pages, of abstract harmonic analysis and the structure of locally compact abelian groups. The present volume comprises Chapters 1-6 in English translation (a second volume will contain the remaining Chapters 7-9). The individual fascicles of the original French edition have been extensively reviewed. Chapters 1-5 received very substantial revisions in a second edition, including changes to some fundamental definitions. Chapters 6-8 are based on the first editions of Chs. 1-5. The English edition has given the author the opportunity tocorrect misprints, update references, clarify the concordance of Chapter 6 with the second editions of Chapters 1-5, and revise the definition of a key concept in Chapter 6 (measurable equivalence relations).

Ce huitième chapitre du Livre d'Algèbre, deuxième Livre des Éléments de mathématique, est consacré à l'étude de certaines classes d'anneaux et des modules sur ces anneaux.Il couvre les notions de module et d'anneau noethérien et artinien, ainsi que celle de radical. Ce chapitre décrit également la structure des anneaux semi-simples. Nous y donnons aussi la définition de divers groupes de Grothendieck qui jouent un rôle universel pour les invariants de modules et plusieurs descriptions du groupe de Brauer qui intervient dans la classification des anneaux simples.Une note historique en fin de volume, reprise de l'édition précédente, retrace l'émergence d'une grande partie des notions développées.Ce volume est une deuxième édition entièrement refondue de l'édition de 1958.

Integration is the sixth and last of the books that form the core of the Bourbaki series; it draws abundantly on the preceding five Books, especially General Topology and Topological Vector Spaces, making it a culmination of the core six. The power of the tool thus fashioned is strikingly displayed in Chapter II of the author's Théories Spectrales, an exposition, in a mere 38 pages, of abstract harmonic analysis and the structure of locally compact abelian groups. The first volume of the English translation comprises Chapters 1-6; the present volume completes the translation with the remaining Chapters 7-9. Chapters 1-5 received very substantial revisions in a second edition, including changes to some fundamental definitions. Chapters 6-8 are based on the first editions of Chapters 1-5. The English edition has given the author the opportunity to correct misprints, update references, clarify theconcordance of Chapter 6 with the second editions of Chapters 1-5, and revise the definition of a key concept in Chapter 6 (measurable equivalence relations).

This is the softcover reprint of the English translation of Bourbaki's text Groupes et Algèbres de Lie, Chapters 7 to 9. It completes the previously published translations of Chapters 1 to 3 (3-540-64242-0) and 4 to 6 (978-3-540-69171-6) by covering the structure and representation theory of semi-simple Lie algebras and compact Lie groups. Chapter 7 deals with Cartan subalgebras of Lie algebras, regular elements and conjugacy theorems. Chapter 8 begins with the structure of split semi-simple Lie algebras and their root systems. It goes on to describe the finite-dimensional modules for such algebras, including the character formula of Hermann Weyl. It concludes with the theory of Chevalley orders. Chapter 9 is devoted to the theory of compact Lie groups, beginning with a discussion of their maximal tori, root systems and Weyl groups. It goes on to describe the representation theory of compact Lie groups, including the application of integration to establish Weyl's formula in this context. The chapter concludes with a discussion of the actions of compact Lie groups on manifolds. The nine chapters together form the most comprehensive text available on the theory of Lie groups and Lie algebras.

From the reviews of the French edition "This is a rich and useful volume. The material it treats has relevance well beyond the theory of Lie groups and algebras, ranging from the geometry of regular polytopes and paving problems to current work on finite simple groups having a (B,N)-pair structure, or "Tits systems". A historical note provides a survey of the contexts in which groups generated by reflections have arisen. A brief introduction includes almost the only other mention of Lie groups and algebras to be found in the volume. Thus the presentation here is really quite independent of Lie theory. The choice of such an approach makes for an elegant, self-contained treatment of some highly interesting mathematics, which can be read with profit and with relative ease by a very wide circle of readers (and with delight by many, if the reviewer is at all representative)." (G.B. Seligman in MathReviews)

Ce volume rassemble les notes historiques parues dans les différentslivres des éléments de mathématique de l'auteur. Ellesconcernent donc l'ensemble des matières abordées dans ce traité :théorie des ensembles, algèbre, topologie, fonctions d'une variableréelle, espaces vectoriels topologiques, intégration,algèbre commutative, groupes et algèbres de Lie. Constitué d'études initialement séparées, cet ouvragene prétend pas esquisser une histoire suivie et complète dudéveloppement de la mathématique. L'entrelacement des différentsthèmes et l'unité du point de vue en assurent cependant lacohérence profonde.

Les Éléments de mathématique de Nicolas Bourbaki ont pour objet une présentation rigoureuse, systématique et sans prérequis des mathématiques depuis leurs fondements. Ce Livre est le quatrième du traité ; il est consacré aux bases de l’analyse réelle. Il comprend les chapitres: 1. Dérivées; 2. Primitives et intégrales; 3. Fonctions élémentaires; 4. Équations différentielles; 5. Étude locale des fonctions; 6. Développements tayloriens généralisés. 7. Formule sommatoire d’Euler-Maclaurin; 8. La function gamma. Il contient également des notes historiques. Ce volume est une réimpression de l’édition de 1976.

Les Éléments de mathématique de Nicolas Bourbaki ont pour objet une présentation rigoureuse, systématique et sans prérequis des mathématiques depuis leurs fondements. Ce volume du Livre d’Intégration, sixième Livre du traité, traite de l’intégration sur les groupes localement compacts et de ses applications. Les notions introduites, telles que les mesures de Haar et le produit de convolution, sont à la base de l’analyse harmonique. Il comprend les chapitres: -1. Mesure de Haar; -2. Convolution et représentations. Il contient également des notes historiques. Ce volume est une réimpression de l’édition de 1963.

Les Éléments de mathématique de Nicolas Bourbaki ont pour objet une présentation rigoureuse, systématique et sans prérequis des mathématiques depuis leurs fondements. Ce premier volume du Livre sur les Groupes et algèbre de Lie, neuvième Livre du traité, est consacré aux concepts fondamentaux pour les algèbres de Lie. Il comprend les paragraphes: -§ 1 Définition des algèbres de Lie; §2 Algèbre enveloppante d’une algèbre de Lie; §3 Représentations; §4 Algèbres de Lie nilpotentes; §5 Algèbres de Lie résolubles; §6 Algèbres de Lie semi-simples; §7 Le théorème d’Ado. Ce volume est une réimpression de l’édition de 1971.

Intégration 5 Les Éléments de mathématique de Nicolas Bourbaki ont pour objet une présentation rigoureuse, systématique et sans prérequis des mathématiques depuis leurs fondements. Ce cinquième chaptire du Livre d’Intégration, sixième Livre des éléments de mathématique, traite notamment d’une generalisation du théorème des Lebesgue-Fubini et du théorème de Lebesque-Nikodym. Il contient également des notes historiques. Ce volume est une réimpression de l’édition de 1967.

Les Éléments de mathématique de Nicolas Bourbaki ont pour objet une présentation rigoureuse, systématique et sans prérequis des mathématiques depuis leurs fondements. Ce premier volume du Livre de Topologie générale, troisième Livre du traité, est consacré aux structures fondamentales en topologie, qui constituent les fondement de l’analyse et de la géométrie. Il comprend les chapitres: 1. Structures topologiques; 2. Structures uniformes; 3. Groupes topologiques; 4. Nombres réels. Il contient également des notes historiques. Ce volume est une réimpression de l’édition de 1971.

Les Éléments de mathématique de Nicolas Bourbaki ont pour objet une présentation rigoureuse, systématique et sans prérequis des mathématiques depuis leurs fondements. Ce fascicule rassemble les notions fondamentales et les principaux résultats de la théorie des variétés différentiables (sur le corps des nombres réels) et des variétés analytiques (sur un corps value complet non discret). Il ne contient pas de démonstration. Ce volume est une réimpression des éditions de 1967 et 1971.

Les Éléments de mathématique de Nicolas BOURBAKI ont pour objet une présentation rigoureuse, systématique et sans prérequis des mathématiques depuis leurs fondements. Ce premier volume du Livre d’Intégration, sixième Livre du traité, est consacré aux fondements de la théorie de l’intégration, il comprend les chapitres : Inégalités de convexité ; Espaces de Riesz ; Mesures sur les espaces localement compacts ; Prolongement d’une mesure. Espaces Lp. Il contient également une note historique. Ce volume est une réimpression de l’édition de 1965.