Uwe Storch

This book provides essential foundations of mathematics, covering set theory, algebra, the theory of real and complex numbers, and topology. It serves as the basis for further exploration of mathematics. Not only are the necessary concepts introduced, but also essential – including deeper – statements are proven. The material is illustrated and supplemented by unusual examples and diverse exercises. The book is suitable for self-study, but primarily designed as companion reading from the beginning for a study in mathematics, physics, and computer science. Its coherent approach makes it highly readable and comparatively easy to understand. This book is a translation of the original German edition ‘Grundkonzepte der Mathematik’ by Uwe Storch and Hartmut Wiebe, published by Springer-Verlag GmbH, DE in 2017. The translation was done with the help of artificial intelligence. A subsequent human revision was done primarily in terms of content (by the author Hartmut Wiebe only, as Uwe Storch is no longer with us).

In diesem Lehrbuch wird die klassische Lebesguesche Maß- und Integrationstheorie stringent entwickelt und dargestellt – trotz großem Tiefgang ist das Buch dadurch gut lesbar. Die einzelnen Abschnitte werden außerdem durch zahlreiche Beispiele und Aufgaben illustriert und ergänzt. Das Buch ist somit sowohl zum Selbststudium als auch als Nachschlagewerk sehr gut geeignet. Grundkenntnisse aus Mengenlehre und Analysis sowie gelegentlich auch Linearer Algebra und Topologie werden vorausgesetzt. Bei Bedarf können diese in den beiden Büchern Grundkonzepte der Mathematik und Analysis einer Veränderlichen der Autoren U. Storch und H. Wiebe nachgelesen werden.

This carefully prepared manuscript presents elimination theory in weighted projective spaces over arbitrary noetherian commutative base rings. Elimination theory is a classical topic in commutative algebra and algebraic geometry, and it has become of renewed importance recently in the context of applied and computational algebra. This monograph provides a valuable complement to sparse elimination theory in that it presents in careful detail the algebraic difficulties from working over general base rings. This is essential for applications in arithmetic geometry and many other places. Necessary tools concerning monoids of weights, generic polynomials and regular sequences are treated independently in the first part of the book. Many supplements added to each chapter provide extra details and insightful examples. Necessary tools concerning monoids of weights, generic polynomials and regular sequences are treated independently in the first part of the book. Many supplements added to each chapter provide extra details and insightful examples.

Im Mittelpunkt dieses Lehrbuchs stehen analytische Funktionen sowie Differenziation und Integration von Funktionen einer Veränderlichen. Dabei werden Begriffe wie Stetigkeit und Konvergenz von Folgen und Reihen vorausgesetzt. Der Stoff wird durch zahlreiche Beispiele und Aufgaben illustriert und ergänzt. Das Buch ist zum Selbststudium geeignet, aber vor allem konzipiert als Begleitlektüre von Anfang an für ein Studium der Mathematik, Physik und Informatik. Die stringente Herangehensweise macht es gut lesbar und vergleichsweise leicht verständlich.

Dieses Buch vermittelt wesentliche Grundlagen der Mathematik, und zwar aus der Mengenlehre, der Algebra, der Theorie der reellen und komplexen Zahlen sowie der Topologie. Es ist damit die Basis für eine weiterführende Beschäftigung mit der Mathematik. Nicht nur die nötigen Begriffe werden eingeführt, sondern bereits wesentliche – auch tieferliegende – Aussagen darüber bewiesen. Der Stoff wird durch ungewöhnliche Beispiele und vielfältige Aufgaben illustriert und ergänzt. Das Buch ist zum Selbststudium geeignet, aber vor allem konzipiert als Begleitlektüre von Anfang an für ein Studium der Mathematik, Physik und Informatik. Die stringente Herangehensweise macht es gut lesbar und vergleichsweise leicht verständlich.

Das Buch ist als Ergänzung zu und zum Gebrauch neben einer Vorlesung über Lineare Algebra gedacht. Es ist hervorgegangen aus Übungen zu entsprechenden Vorlesungen für Mathematiker, Physiker und Informatiker und enthält Aufgaben verschiedener Schwierigkeitsgrade mit ausführlichen Lösungen. Es wird vorausgesetzt, dass der Leser die grundlegenden Begriffe und Aussagen aus der Linearen Algebra bereits gehört oder sich anderweitig – etwa im Selbststudium – angeeignet hat. Als Basis – auch für das Zitieren von Standardergebnissen – wird der zweite Band des Lehrbuchs der Mathematik von U. Storch und H. Wiebe zu Grunde gelegt, der ebenfalls im Verlag Springer Spektrum erschienen ist und dem ein Großteil der hier behandelten Aufgaben entnommen ist. Etliche der Aufgaben sind aber auch neu. Um den Leser zur Mitarbeit anzuregen, sind einige Aufgaben ohne Lösungen gelassen. Die Ergebnisse werden dann genannt. Darüber hinaus werden immer wieder Bemerkungen eingefügt, die die Resultate illustrieren, ergänzen und interessant machen.

Das Buch ist als Ergänzung zu und zum Gebrauch neben einer Vorlesung über Analysis einer Veränderlichen gedacht. Es ist hervorgegangen aus Übungen zu entsprechenden Vorlesungen für Mathematiker, Physiker und Informatiker und enthält Aufgaben verschiedener Schwierigkeitsgrade mit ausführlichen Lösungen. Es wird vorausgesetzt, dass der Leser die grundlegenden Begriffe und Aussagen aus der Analysis einer Veränderlichen bereits gehört oder sich anderweitig – etwa im Selbststudium – angeeignet hat. Viele der Aufgaben sind dem ersten Band des Lehrbuchs der Mathematik von U. Storch und H. Wiebe, das ebenfalls im Verlag Springer Spektrum erschienen ist, entnommen; eine ganze Reihe ist aber auch neu. Um den Leser zur Mitarbeit anzuregen, sind einige Aufgaben ohne Lösungen gelassen. Die Ergebnisse werden dann genannt. Darüber hinaus werden immer wieder Bemerkungen angefügt, die die Resultate illustrieren, ergänzen und interessant machen.

Die "Analysis auf Mannigfaltigkeiten" ist der abschliessende Band eines vierbandigen Lehrbuchs der Mathematik fur Mathematiker, Physiker und Informatiker uber den Lehrstoff bis zum mathematischen Vorexamen und daruber hinaus. Der Band enthalt die Grundlagen der Differential- und Integralrechnung auf reellen und komplexen Mannigfaltigkeiten (u.a. den Differentialformenkalkul, Vektorfelder und ihre Flusse, den Satz von Stokes und die de Rham-Kohomologie). Die notwendigen Hilfsmittel aus der Multilinearen Algebra und uber Vektorbundel werden bereitgestellt. Ausserdem werden Lie-Gruppen, Zusammenhange und der Satz von Frobenius, (pseudo-) Riemannsche Mannigfaltigkeiten, Grundbegriffe der Algebraischen Topologie, Funktionentheorie und Riemannsche Flachen sowie die Funktionalanalysis einschliesslich der Operatorentheorie behandelt. Zahlreiche Beispiele und Aufgaben begleiten den Text."

Das Werk ist der dritte Band eines vierbändigen Lehrbuchs der Mathematik, das den Stoff für das mathematische Vorexamen enthält. Es wendet sich an Studierende der Mathematik, Informatik, Physik und Geophysik und behandelt die Analysis in mehreren Veränderlichen. Im Mittelpunkt stehen die Differentialrechnung in endlichdimensionalen Zahlenräumen und die (Lebesguesche) Integralrechnung auf der Grundlage der Maßtheorie. Daneben wird auch eine Einführung in die Topologie, die Funktionentheorie und die Stochastik gegeben. Zahlreiche Beispiele, insbesondere aus der Physik, und umfangreiches Aufgabenmaterial runden die Darstellung ab.

"Lineare Algebra" ist der zweite Band eines vierbändigen Lehrbuchs der Mathematik für Mathematiker, Informatiker und Physiker über den Lehrstoff bis zum mathematischen Vorexamen. Der vorliegende Band enthält die gesamte Lineare Algebra (u.a. Operatoren und ihre Normalformen, Bilinearformen und Dualität, Isometrien und selbstadjungierte Abbildungen, numerische Verfahren). Außerdem werden normierte Vektorräume und lineare Differentialgleichungen (Anfangs- und Randwertprobleme) sowie die spezielle Relativitätstheorie behandelt. Zahlreiche Beispiele und Aufgaben ergänzen die Darstellung.

This introductory textbook for a graduate course in pure mathematics provides a gateway into the two difficult fields of algebraic geometry and commutative algebra. Algebraic geometry, supported fundamentally by commutative algebra, is a cornerstone of pure mathematics.Along the lines developed by Grothendieck, this book delves into the rich interplay between algebraic geometry and commutative algebra. A selection is made from the wealth of material in the discipline, along with concise yet clear definitions and synopses.

This introductory textbook for a graduate course in pure mathematics provides a gateway into the two difficult fields of algebraic geometry and commutative algebra. Algebraic geometry, supported fundamentally by commutative algebra, is a cornerstone of pure mathematics.Along the lines developed by Grothendieck, this book delves into the rich interplay between algebraic geometry and commutative algebra. A selection is made from the wealth of material in the discipline, along with concise yet clear definitions and synopses.

Das Werk ist der erste Band eines vierbändigen Lehrbuchs der Mathematik, das den Stoff für das mathematische Vorexamen enthält. Es wendet sich an Studierende der Mathematik, Informatik und Physik. Die wesentlichen Konzepte der Analysis einer Veränderlichen (Stetigkeit, Differentiation, Integration) werden - auch unter Berücksichtigung numerischer Verfahren - behandelt. Zudem finden die Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie Berücksichtigung. Zahlreiche Beispiele und Aufgaben ergänzen die Darstellung und erleichtern das Verstehen.

This carefully prepared manuscript presents elimination theory in weighted projective spaces over arbitrary noetherian commutative base rings. Elimination theory is a classical topic in commutative algebra and algebraic geometry, and it has become of renewed importance recently in the context of applied and computational algebra. This monograph provides a valuable complement to sparse elimination theory in that it presents in careful detail the algebraic difficulties from working over general base rings. This is essential for applications in arithmetic geometry and many other places. Necessary tools concerning monoids of weights, generic polynomials and regular sequences are treated independently in the first part of the book. Many supplements added to each chapter provide extra details and insightful examples. Necessary tools concerning monoids of weights, generic polynomials and regular sequences are treated independently in the first part of the book. Many supplements added to each chapter provide extra details and insightful examples.

Das "Lehrbuch der Algebra" dient der Einfiihrung in die Algebra, einschliefi- lich derjenigen Teile der Algebra, die gemeinhin als Lineare Algebra bezeich- net werden. Mit dem zweiten Band legen wir nunmehr den Hauptteil des Buches vor. Den Studierenden werden zunachst die drei mittleren Kapitel VIII, IX und X interessieren, die Lineare Operatoren, Dualitat und Multilineare Algebra behandeln und damit den Stoff vermitteln, der den Kern der Anfanger- Vorlesungen iiber (Lineare) Algebra und Geometrie ausmacht und in weitem Mafie auch in den parallelen Analysis-Vorlesungen gebraucht wird. Zur Untersuchung linearer Operatoren in Kapitel VIII sind einige Ergeb- nisse iiber Polynomringe notig, die in Kapitel VII, welches allgemeine Be- griffe der Kommutativen Algebra vorstellt, enthalten sind, wenn sie auch nur einen gering en Teil dieses Kapitels bilden, den der Leser aber an Hand kurzer Bemerkungen zu Beginn der einzelnen Paragraphen unschwer her- ausfinden wird. Dem Leser sei geraten, sich hier anfangs auf das Notige zu beschranken. Weiter empfehlen wir dem Leser, sich friihzeitig mit dem Tensorprodukt als dem Grundbegriff multilinearer Algebra vertraut zu machen; hierzu bieten schon einige Stellen der Kapitel VIII und IX Gelegenheit. Systematisch wird das Tensorprodukt erst in Kapitel X besprochen, jedoch ergeben die ersten Paragraphen 80 und 81 dieses Kapitels eine in sich geschlossene einfach gehaltene Einfiihrung, die man leicht vorziehen kann. Die Paragraphen 80 und 84 konnen librigens ohne wei teres als Teil des Kapitels VI liber Determinanten in den erst en Band aufgenommen werden.